Os quatro quatros

Você sabia que com quatro quatros é possível escrever qualquer numeral de 0 a 100?


Para isso precisamos utilizar as operações:

• + (adição)
  
• - (subtração
• x (multiplicação)
• (divisão)
• n! (fatorial - representa o produto entre todos os números inteiros positivos menores ou iguais a n — 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24)
• n? (termial - representa a soma de todos os números inteiros positivos menores ou iguais a n — 4? = 1 + 2 + 3 + 4 = 10)
• (raiz quadrada)
• xⁿ (exponenciação)
  

Além dessas operações, pode-se fazer uso da notação decimal, usando-se a concatenação do algarismo 4 para formar os números 44, 444 e 4444.

Fórmula Geral

Uma solução geral para o problema dos Quatro Quatros, proposta por Rui Chamas e Roger Chamas, é a que todo número natural n pode ser representado através da fórmula abaixo:

Exemplos:
- Quer formar o zero?
44 - 44
- Passemos ao 1:
44
44
- Quer ver agora o número 2?
4 + 4
4 4
- O 3 é mais fácil. Basta escrever a expressão:
4 + 4 + 4
4
- E como formar o próprio 4?
4 + 4 - 4
4
A segunda parcela é nula, então a soma fica igual a quatro.
- Para formar o 5:
4 x 4 + 4
4
E a divisão de 20 por 4 que é igual a 5.
- Passemos ao 6:
4 + 4 + 4
4
- Uma pequena alteração nesse conjunto nos conduz ao resultado 7:
44 - 4
4
- O resultado 8 também é muito simples:
4 + 4 + 4 - 4
- O número 9 não deixa também de ser interessante:
4 + 4 + 4
4
- Eis agora o 10:
44 - 4
4
Algumas operações muito interessantes:
- A primeira é a que o resultado dê 24:
4! + 4(4 - 4)
- A seguir o resultado 25:
4! + 4 ( elevado a 4 - 4)
O 4!= 24, e o expoente 4 - 4 é igual a zero. Sabemos que todo número elevado a zero dê sempre um.
Então 24 + 1 = 25.
- Já o número 26 é bem simples:
4! + 4 + 4
4

- Também, como ja disse, podemos fazer numerais mais altos como o 49 e o 97:
4! + 4! + 4 = 49
4
4! x 4 + 4 = 97
4

Veja todas as soluções aqui.

Esse é um problema apresentado no livro "O homem que calculava", muito bom.