Blog do Caos

quarta-feira, 28 de maio de 2008

Feliz neversário Ana!

Mtas felicidades e mta paz!

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terça-feira, 27 de maio de 2008

Googol e googolplex

Googol

O googol (lê-se gugol - sua forma de escrita em Portugal) é o número 10100, ou seja, o dígito 1 seguido de cem zeros.

Em 1938, o matemático Edward Kasner, da Universidade da Columbia, pediu ao seu sobrinho Milton Sirotta, de oito anos, que inventasse um nome para dar a um número muito grande, mais precisamente à centésima potência do número 10, isto é, a unidade seguida de 100 zeros. Um número muito grande, mas não infinito. Veja um exemplo da grandeza deste numero:
Desde de o surgimento da Terra, há aproximadamente 4,5 bilhões de anos atrás, ainda não se passaram um googol de segundos, nem um googol de milésimos, na verdade não é nem perto disso, se passaram "apenas" aproximadamente 1017 segundos. Ou seja para completarmos um googol de segundos teríamos que viver mais 1083 vezes esse valor.Edward Kasner apresentou o googol em seu livro "Matemática e Imaginação".
Representado consiste no seguinte:

10.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000
.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000
(onde os pontos separam os milhares).

O googol é "aproximadamente" igual ao fatorial de 70, e seus únicos fatores primos são 2 e 5. No sistema binário, seriam necessários 333 bits para representá-lo.

O googol não tem qualquer utilidade prática a não ser como explicação da diferença entre um número imenso e o infinito. Na verdade, o googol está tão longe do infinito como o 1.
Devido à sua grande magnitude, foi adaptado para batizar um famoso motor de busca, o Google.

Googolplex

Um googolplex é dez elevado a um googol.
(1 Googolplex = 10googol = =

1010.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000), ou seja, 1 seguido de googol zeros.

Se imaginarmos que o conjunto de todas as partículas do Universo é igual a 1080 (inferior a um googol) podemos perceber o quão enorme é este número. Escrever um googolplex é impossível. Mesmo que se transformasse toda a matéria existente no Universo em tinta de papel não teríamos ainda material suficiente para escrever todos os zeros que o compõem. Resta a possibilidade de o escrever em bytes. Obviamente neste momento ainda não existem discos rígidos com capacidade de um googolplex em bytes. A único solução possível seria escrevê-lo e compactá-lo ao mesmo tempo (o que é fácil pois o número é composto basicamente por zeros). Considerando por exemplo um processador a 3GHz, que significa que executa 3 bilhões de instruções por segundo (virtualmente, pensando que o processador só faria esta tarefa). E supondo que o processador necessita apenas de uma instrução para acrescentar um dígito ao registo onde tem armazenado o googolplex, este necessitaria de:
10googolplex instruções

Dividindo este valor por 3.109 (3 bilhões), que é o número de instruções por segundo, chegamos a um valor que ultrapassa um milhar de anos.

Para se ter outra idéia de comparação, um número entre googol e bem menor que um googolplex, seria o (dez elevado a dez elevado a dez ou dez elevado a dez bilhões) que é aproximadamente o número de todas as imagens distintas possíveis de serem exibidas num monitor de resolução 800×600 com 16 bits. Pare para pensar quantas imagens distintas um monitor poderia exibir.

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segunda-feira, 26 de maio de 2008

O Triângulo das Bermudas

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Os quatro quatros

Você sabia que com quatro quatros é possível escrever qualquer numeral de 0 a 100?

Para isso precisamos utilizar as operações:

+ (adição)
- (subtração
x (multiplicação)
$\frac{x}{y}$ (divisão)
n! (fatorial - representa o produto entre todos os números inteiros positivos menores ou iguais a n — $4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24$ )
n? (termial - representa a soma de todos os números inteiros positivos menores ou iguais a n — $4? = 1 + 2 + 3 + 4 = 10$ )
$\sqrt{x}$ (raiz quadrada)
$x n$ (exponenciação)

Além dessas operações, pode-se fazer uso da notação decimal, usando-se a concatenação do algarismo 4 para formar os números 44, 444 e 4444.

Fórmula Geral

Uma solução geral para o problema dos Quatro Quatros, proposta por Rui Chamas e Roger Chamas, é a que todo número natural $n$ pode ser representado através da fórmula abaixo:

$n = - \frac{log_\sqrt{4} \left(log_\sqrt{4}\; \left( \begin{matrix} 4n+1\;\mbox{radicais} \\ \overbrace{\sqrt{\sqrt{\cdots\sqrt{4}}}} \end{matrix} \right)\right) }{4}\,\!$

Exemplos:
- Quer formar o zero?
44 - 44
- Passemos ao 1:
44
44
- Quer ver agora o número 2?
4 + 4
4 4
- O 3 é mais fácil. Basta escrever a expressão:
4 + 4 + 4
4
- E como formar o próprio 4?
4 + 4 - 4
4
A segunda parcela é nula, então a soma fica igual a quatro.
- Para formar o 5:
4 x 4 + 4
4
E a divisão de 20 por 4 que é igual a 5.
- Passemos ao 6:
4 + 4 + 4
4
- Uma pequena alteração nesse conjunto nos conduz ao resultado 7:
44 - 4
4
- O resultado 8 também é muito simples:
4 + 4 + 4 - 4
- O número 9 não deixa também de ser interessante:
4 + 4 + 4
4
- Eis agora o 10:
44 - 4
4
Algumas operações muito interessantes:
- A primeira é a que o resultado dê 24:
4! + 4(4 - 4)
- A seguir o resultado 25:
4! + 4 ( elevado a 4 - 4)
O 4!= 24, e o expoente 4 - 4 é igual a zero. Sabemos que todo número elevado a zero dê sempre um.
Então 24 + 1 = 25.
- Já o número 26 é bem simples:
4! + 4 + 4
4

- Também, como ja disse, podemos fazer numerais mais altos como o 49 e o 97:
4! + 4! + 4 = 49
4
4! x 4 + 4 = 97
4

Veja todas as soluções aqui.

Esse é um problema apresentado no livro "O homem que calculava", muito bom.

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